심플렉틱 다양체의 불변량
Commun. Korean Math. Soc. 2000 Vol. 15, No. 3, 391-434
조용승
이화여자대학교
Abstract : 심플렉틱 구조는 국소적으로는 모두 같기 때문에 심플렉틱 다양체 연구는 대역적으로 연구해야 한다. 그로모브가 복소해석학적 곡선을 원소를 하는 모듈라이 공간의 연구가 심플렉틱 다양체를 연구하는 물고를 텃다. 특이점이 없는 복소곡선의 개수를 세는 그로모브 불변량은 도넬슨의 비선형 게이지 이론의 간략화라 할 수 있는 아벨리안 게이지 이론에서 사이버그-위튼 불변량과 같음을 타우브스가 발견하였다. 또한 사이버그-위튼 불변량은 심플렉틱 다양체의 불변량으로 심플렉틱 구조연구에 큰 이바지하고 있다. 그로모브의 모듈라이 공간의 컴펙트하는 과정에서 자연스럽게 마크점과 특이점을 갖은 곡선의 그로모브-위튼 모듈라이 공간이 켐펙트가 되고 여기서 그로모브-위튼 불변량이 얻어진다. 이 그로모브-위튼 불변량은 대수기하와 이론 물리학의 끈이론에서 찾는 대수곡선의 개수를 나타내고, 코호몰로지의 컵곱의 일반화라 할 수 있는 퀀텀곱을 유도하고, 그로모브-위튼 포텐셜함수의 계수를 결정한다. 퀀텀곱의 결합법칙은 포텐셜함수의 WDVV-방정식과 동치를 나타내며 이는 프로베니우스 구조가 평탄함을 나타낸다. 그로모브-위튼 불변량은 앞으로 활발히 연구되고 수학에 광범하게 이바지 할 것 이다.
Keywords : 심플렉틱 다양체, 사이버그-위튼 모듈라이 공간, 사이버그-위튼 불변량, 그로모브 불변량, 그로모브-위튼 모듈라이 공간, 안정곡선, 그로모브-위튼 불변량, 프로베니우스구조, 퀀텀곱, 퀀텀코호몰로지, 그로모브-위튼 포텐셜 함수, WDVV-방정식
MSC numbers : 57S17, 57R42, 58D10, 58B15
Full-Text :

   

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